Il Metodo di Studio

 

Il metodo di studio non è altro che una serie di comportamenti volti a massimizzare l’apprendimento di una determinata disciplina. Studiare è una cosa possibile sia per quanto riguarda l’uso più classico del termine, ovvero “studiare dai libri”, sia per quanto riguarda qualsiasi altra attività, non necessariamente intellettuale, ma anche fisica.
Restringendo il nostro campo a uno studente che deve preparare un’interrogazione, o un esame, possiamo trovare tanti aspetti che possono essere migliorati con lo scopo, per l’appunto, di massimizzare l’apprendimento. In questa serie di articoli scandaglieremo gli aspetti teorici e pratici che entrano in gioco nello sviluppo di un metodo corretto.
Il rapporto con lo studio, e quindi la motivazione di ogni studente, passa attraverso dei punti obbligati che è necessario analizzare singolarmente. Tuttavia in questa serie di articoli non possiamo scindere il metodo di studio dalla materia di studio, in quanto si tratta di aspetti strettamente correlati. Molti studenti riescono ad avere un metodo adatto allo studio di determinati argomenti, non ottenendo lo stesso risultato quando l’oggetto dello studio cambia. Spesso lo studente ha perciò delle preferenze di studio, o tenderà a pensare di essere più portato per una o per un’altra materia. Questo in generale può non essere del tutto falso, ma la maggior parte delle volte gli studenti in questione commettono degli errori di metodo, che li portano a delle convizioni errate e a delle frustrazioni conseguenti.
Cercheremo in questi articoli di insistere molto sulla motivazione allo studio, approfondendo alcuni aspetti ad essa strettamente collegati, ed esamineremo diversi metodi in relazione alle materie di studio. Cercheremo di mantenere il più possibile la trattazione a livello pratico e facilmente leggibile, cercando far risultare i concetti il meno fumosi possibile.

Il Piacere di Studiare
Studiare non è un piacere? Ti senti poco portato per alcune materie? Probabilmente stai commettendo qualche errore di metodo tu, o probabilmente lo ha commesso qualcuno prima di te, qualcuno che nemmeno ricordi.
Sebbene in generale sia vero che ognuno di noi abbia delle predilezioni e dei campi che gli sono più o meno “congeniali”, il fatto che una cosa ci piaccia o meno è determinato dalle nostre precedenti esperienze con quel determinato argomento. Se, per esempio, da piccoli siamo stati gratificati quando facevamo bene dei compiti di matematica, è più probabile che questa passione venga conservata, al di là delle attitudini personali. Il piacere che proviamo nello studiare una determinata materia è una cosa modificabile, e neanche tanto difficilmente. Non è una semplice questione di inclinazione… Vi basti riflettere sul fatto che Einstein inizialmente odiava le scienze.
A questo punto possiamo svelare il primo trucco per un apprendimento migliore:
- DOBBIAMO FARCI PIACERE CIO’ CHE STIAMO FACENDO


Sembra una cosa banale, ma non lo è affatto. Se ci troviamo di fronte ad un argomento che non ci piace ci possiamo infatti porre di fronte a due banali scelte: studiare o non studiare. Se potessimo scegliere, io per primo sceglierei di evitare gli argomenti a cui non sono molto interessato. Tuttavia la scelta talvolta è solo apparente: in un contesto scolastico è inutile non studiare in quanto poi sarei comunque costretto a farlo (ad esempio per un esame al’Università, o per un’interrogazione alle superiori). Mi troverei così un brutto voto e del lavoro accumulato per il futuro. Quindi l’unica opzione è studiare. Ora il problema è solo quello di trovare la motivazione per farlo. Per trovarla dovremo fare in modo che l’atto stesso di studiare ci procuri piacere, al di là di come possa andare un esame, un’interrogazione o una qualsiasi verifica. E qui sta il secondo punto, che è ancora meno scontato:
- LA MOTIVAZIONE DEV’ESSERE INDIPENDENTE DALLE GRATIFICAZIONI MOMENTANEE (strategia del biscotto)
Spiego meglio: non dobbiamo rischiare di fare come gli animali da zoo che son devoti al padrone solo per avere un biscotto dopo l’esibizione. Dobbiamo studiare NON per il bel voto, ma per noi stessi. Non è follia, ma è la cosa più importante che possiate fare, credetemi. Anche se la materia non vi interessa, anche se con un voto alto la media si alzerebbe di un certo tanto e potreste prendere la borsa di studio, l’obiettivo dev’essere sempre quello di “studiare solo perchè devo farlo”. Sembra un concetto un po’ illogico da dire così, ma vi evita tanti problemi, e dà continuità al vostro studio.
In questo modo studierete in maniera uguale sia che la prossima verifica sia tra un mese, sia che abbiate un esame importante domani mattina. Per raggiungere quest’obiettivo il modo migliore è porlo come una scelta inderogabile, come che fosse un vostro lavoro, al quale lavorate per esempio sei giorni su sette, per almeno due-tre ore al giorno. Il modo migliore per far capire al vostro stesso cervello che non state scherzando è quello di imporvi di studiare proprio nel momento in cui ne avete meno necessità e voglia. Un giorno di vacanza, un sabato pomeriggio, una sera d’agosto appena tornati a casa dopo il mare.
Se vi abituate a sviluppare questo tipo di forza di volontà, in seguito avrete molti meno problemi, ad esempio quando le gratificazioni non ci saranno o quando vi troverete ad affrontare situazioni più difficili. Inoltre questo metodo, se ben compreso, vi aiuterà a liberarvi di qualsiasi forma di ansia da prestazione o, per meglio intenderci, di ansia da esame.
Specialmente agli inizi questo compito richiederà un certo allenamento, perciò vi consiglio di programmare bene il vostro studio, anche in termini di tempo. Quindi il terzo consiglio è:
- PRIVILEGIARE UNO STUDIO DI QUALITA’ AD UNO STUDIO DI QUANTITA’ E PROGRAMMARE IL NUMERO DI ORE DA DEDICARE ALLO STUDIO

Infatti la cosa che molti studenti non capiscono è che studiando bene, con impegno, per due-tre ore al giorno, senza interruzioni, dando il massimo, e rispettando questa tabella tutti i giorni, si ottengono degli ottimi risultati, senza particolari sforzi, e con la gratificazione di essere riusciti ad adempiere ai propri compiti senza essersi ammazzati di lavoro. Questa dev’essere la nostra unica gratificazione, in quanto dobbiamo assolutamente svincolare la nostra soddisfazione personale in ciò che facciamo dai giudizi degli altri, come detto prima.
Lo sforzo di chi studia regolarmente sarà minore di quello di chi non studia. Il paragone più calzante in questo senso (visto che in questo sito ci occupiamo anche di sport) è quello di un atleta amatoriale che si allena mezzora al giorno per sei giorni alla settimana. Nelle ore di allenamento le pulsazioni del suo cuore aumenteranno notevolmente, per poi scendere, per i benefici della corsa, durante le ore di non allenamento. Confrontiamo le sue pulsazioni con quelle di un soggetto sedentario, e vediamo chi avrà compiuto un maggiore sforzo cardiovascolare:

• soggetto sedentario – media di 77 pulsazioni al minuto: in una settimana avrà compiuto 776160 pulsazioni
• soggetto sportivo – media di 67 pulsazioni al minuto (grazie a un’attività fisica regolare). Durante l’esercizio le sue pulsazioni aumenteranno fino a 150 ppm: in una settimana avrà compiuto 675858 pulsazioni, ovvero oltre 100000 pulsazioni in meno rispetto al soggetto sedentario, il 12% in meno.

Lo studio in questo senso è molto simile allo sport, così come il cuore è molto simile al cervello. Il non studire in maniera metodica e regolare ci porterà nel tempo a sprecare più energie nervose di quelle che avremmo speso semplicemente con un po’ più di impegno e di forza di volontà.
Trovare il ritmo di studio è il vero segreto delle persone furbe. Le persone furbe sanno infatti che uno studio regolare, metodico e ben definito nei tempi e nei modi permette di risparmiare tempo, di assimilare meglio le informazioni, di farsi piacere di più (o dispiacere di meno) le materie, e di passare in maniera migliore il tempo lontano dalla scrivania, gestendolo secondo i propri interessi.
Uno studio disordinato che inizia qualche giorno (se non addirittura qualche ora) prima dell’interrogazione o dell’esame sarà addirittura controproducente per diversi motivi:

• ci fa perdere innanzitutto tempo: le informazioni che stiamo cercando di memorizzare affannosamente rimarranno nella memoria a breve termine e dopo qualche giorno saranno completamente cancellate dal nostro cervello. Chi studia con metodo ricorderà invece senza fatica tantissimi particolari delle materie studiate per tanti anni, e migliorerà la sua cultura personale. La cultura non è sicuramente sinonimo di intelligenza, ma una buona cultura è fondamentale per svilupparla;
• ci fa essere dipendenti dal risultato. Infatti stiamo studiando per l’esame, non per noi. Da qui scaturisce l’ansia da prestazione;
• ci brucia una intera serata (o più di una) in cui avremmo magari potuto fare altro;
• ci fa odiare lo studio e la materia in questione. Studiare un argomento in full-immersion è molto più faticoso che farlo a pezzettini. Come vedremo il nostro cervello per elaborare e assimilare le informazioni ha bisogno di tempo. Inserire troppe informazioni tutte assieme è come pensare di fare il lavoro di un mese di palestra tutto in una seduta. Saremo pronti per la prova costume? E’ molto più probabile che non torneremo più in palestra!
• anche se la verifica dovesse andare bene il nostro studio sarà superficiale, e la seduta di studio successiva dovremo sobbarcarci il doppio del lavoro, in quanto l’argomento precedente non è stato assimilato. Questo è tanto più valido quanto più le materie sono a caratterizzazione verticale.

Uno studio ordinato e organizzato bene invece presenta vantaggi notevoli:

• le informazioni ricevute rimarranno immagazzinate nel nostro cervello per moltissimo tempo e saranno parte del nostro bagaglio culturale. La cultura è fondamentale nel rapportarsi con gli altri, nel migliorare la nostra intelligenza e nella comprensione del mondo;
• non saremo dipendenti dal risultato in quanto sappiamo che lo studio sarà finalizzato a noi stessi, non al voto;
• organizzandoci per poche ore al giorno avremo poi tutto il resto della giornata libera per dedicarci ai nostri interessi;
• potremo scoprire quali sono le materie che realmente ci piacciono e che intendiamo approfondire. Questo vale principalmente per gli studenti delle superiori. Ricordo che la maggior parte dei miei compagni di classe non aveva idea di cosa fare nel post-liceo, e dava principalmente la colpa agli organismi di orientamento universitario per gli studenti. In realtà erano loro stessi che non avevano un’idea di cosa gli piacesse fare;
• uno studio corretto ci permetterà di avere i prerequisiti per collegarci a materie più avanzate. La maggior parte dei problemi di coloro che non riescono a studiare materie ad alta  caratterizzazione verticale come matematica e fisica deriva proprio dalla mancanza dei prerequisiti;
• aumenteremo in generale la nostra autostima, miglioreremo il nostro umore e la qualità della vita in maniera sostanziale.

Il luogo comune
Essere organizzati non significa essere secchioni o topi da biblioteca, tutt’altro. Significa essere intelligenti, avanzati, con una marcia in più rispetto agli altri. Il secchione per definizione non ha una buona organizzazione di studio, semplicemente vi ci dedica troppo tempo, puntando più sulla quantità che sulla qualità, e trascurando altri aspetti fondamentali della vita come la socializzazione e lo sviluppo di una personalità forte. Per questo non riuscirà a farsi rispettare dai propri compagni. Lo studente intelligente saprà invece imporre la sua personalità in quanto l’autostima che deriva dalla sua organizzazione (e da altri fattori che più in là analizzeremo) contribuirà allo sviluppo di una personalità forte, positiva, da vero leader.

I diagrammi di Bode

I diagrammi di Bode consistono nella rappresentazione di modulo e fase della funzione di trasferimento al variare della frequenza del segnale di ingresso. Rispetto ai diagrammi polari o di Nyquist , presentano due sostanziali differenze:

1) fanno riferimento alla rappresentazione geometrica dei numeri complessi ( modulo e fase ) , mentre i diagrammi di Nyquist presentano sull'asse delle ascisse e su quello delle ordinate rispettivamente parte reale e parte immaginaria ( rappresentazione algebrica )

2) presentano la frequenza ( o la pulsazione ) come variabile indipendente sull'asse delle ascisse , mentre nei diagrammi polari la pulsazione parametrizza la curva. Inoltre , per semplificare la rappresentazione grafica, l'asse delle ascisse ha scala logaritmica :


con da scegliere in base alle costanti di tempo del sistema da analizare ( solitamente 1 rad/s) . Anche l'asse delle ordinate , per il diagramma del modulo , ha scala logaritmica espressa in decibel :



Nel diagramma della fase, invece , l'asse delle ordinate ha scala lineare e vi si riporta in gradi o radianti.

Tracciare i diagrammi di Bode

A differenza dei diagrammi di Nyquist, i diagrammi di Bode si prestano abbastanza facilmente ad essere tracciati quantitativamente senza il ricorso a sistemi di calcolo automatico , grazie soprattutto a due semplificazioni:
1) Il diagramma di Bode di una funzione di trasferimento si può costruire come sovrapposizione dei diagrammi di Bode dei singoli contributi : costante moltiplicativa, derivatori , integratori, poli e zeri semplici, coppie di poli e zeri complessi coniugati. Per la fase, come si è visto nella dimostrazione del lemma del mapping, vale la sovrapposizione degli effetti : se F(s) è nella forma


allora la fase della F(s) vale :

;

Per quanto riguarda il modulo, invece, la sovrapposizione degli effetti è dettata dall'utilizzo dei dB ; per le proprietà dei logaritmi , infatti , il prodotto dei moduli dei singoli contributi si traduce nella somma dei singoli contributi, espressi in dB :


2)
I diagrammi di Bode dei singoli contributi si possono tracciare in modo qualitativo con tratti spezzati, ricorrendo poi a dei diagrammi di correzione per risalire all'andamento quantitativamente corretto , mostrati in figura 1 per il caso di una coppia di zeri ( o poli , basta invertire l'asse delle ordinate ) complessi coniugati.


Di seguito sono riportati i diagrammi di Bode ( esatti ed approssimati , o asintotici ) dei singoli contributi che si possono presentare nel tracciare il diagramma complessivo di una qualsiasi funzione di trasferimento :
a) costante moltiplicativa : esprimendo F(s) come prodotto di fattori , la costante k da luogo ad un modulo in dB pari a e ad una fase che vale :
a1) 0 se k>0 ( come mostrato con il tratto blu in figura 2 )
a2) -180° se k<0 ( come mostrato con il tratto rosso in figura 2)


b) Zeri nulli : ciascun derivatore da un contributo rettilineo ( su scala logaritmica ) per quanto riguarda il modulo , con pendenza pari a 20dB/decade e un contributo alla fase pari a 90° ; ricordando come si calcola il modulo di un numero complesso , si ha infatti :

;ricordando invece come si calcola la fase, e notando che la parte reale del termine derivarore è nulla, si ha :

. in figura 3 sono rappresentati un derivatore semplice in blu ( 20dB/dec e 90° ), un derivatore doppio in rosso ( 40dB/dec e +180° di sfasamento) e un triplo polo zero in verde ( 60dB/dec e 270° di sfasamento in anticipo ).

c) poli nulli : con considerazioni simili a quelle viste per il derivatore, si può dimostrare che ciascun iintegratore contribuisce al modulo della funzione di trasferimento con un termine rettilineo a pendenza negativa di -20dB/decade e alla fase con un contributo costante di -90° ; in figura 3 sono rappresentati un integratore semplice in blu ( -20dB/dec e -90° ), un integratore doppio in rosso ( -40dB/dec e -180° di sfasamento) e un triplo polo nullo in verde ( -60dB/dec e -270° di sfasamento in anticipo ).

d) zeri reali non nulli : in figura 6 sono riportati il contributo al modulo e alla fase di un zero reale non nullo ; in rosso è riportato l'andamento di uno zero negativo, in blu quello di uno zero positivo. In celeste è invece riportato l'andamento del diagramma di bode approssimato , detto anche diagramma di Bode asintotico, che approssima l'andamento della fase e del modulo con delle spezzate. I diagrammi asintotici approssimano con buona precisione i diagrammi reali alle alte frequenze e alle basse frequenze , mentre intorno alla frequenza naturale dello zero introducono un errore massimo di 3dB per il modulo e di 5.7° per la fase . Matematicamente le approssimazioni sono spiegate dai seguenti passaggi : l'espressione del modulo in dB è

, dove si è definito , e:
d1) alle basse frequenze , per cui il modulo è pressoché nullo
d2) alle alte frequenze e si è visto, analizzando il contributo del derivatore, che tale espressione corrisponde ad una pendenza positiva di 20dB/decade.
L'espressione della fase è invece :

e :
d1) alle basse frequenze
d2)alle alte frequenze
In caso di poli e zeri multipli , le pendenze del contributo del modulo e le fasi alle basse frequenze si sommano.

e) poli reali non nulli : per i poli reali non nulli valgono considerazioni simili a quelle viste per gli zeri non nulli. In figura 7 sono riportati gli andamenti reali per polo negativo ( rosso ) e polo positivo ( blu ) , mentre in celeste è riportato il diagramma asintotico costruito mediante spezzate. Va notato che , mentre nel diagramma del modulo di uno zero non nullo, la spezzata resta costantemente al di sotto dell'andamento esatto , per cui la correzione da apportare è di +3dB in corrispondenza di , nel diagramma del polo è l'andamento reale ad essere minorato dalla spezzata, per cui la correzione da apportare è di -3dB. Come per lo zero, inoltre, la pendenza della seconda spezzata si raddoppia nel caso di polo doppio ( -40dB/decade ) si triplica per per polo triplo ( -60dB/decade ), ecc..


Rilevare margine di fase e margine di guadagno sui diagrammi di Bode

Come nei diagrammi di Nyquist, il margine di fase ed il margine di guadagno hanno un immediato significato geometrico anche nei diagrammi di Bode. A differenza dei diagrammi polari, però, nei diagrammi di Bode è più agevole valutare quantitativamente queste due grandezze.
1) Il margine di guadagno può essere valutato in due semplici passi, che sono rappresentati in figura 8:
1a) Si individua della pulsazione , definita dall'equazione , come intersezione fra il diagramma della fase e la linea tratteggiata verde in figura ;
1b) Si valuta , sul diagramma del modulo, l'ampiezza del segmento congiungente ( lungo la verticale ) l'asse 0dB (linea tratteggiata celeste ) con il diagramma stesso. Se il segmento è contenuto nel semipiano dB<0 , il margine è positivo, altrimenti il margine di guadagno è negativo.

2) Il margine di fase può essere può essere ricavato con una procedura simile :

2a) Si individua la pulsazione , definita in precedenza come , dall'intersezione fra il diagramma del modulo e la linea tratteggiata celeste ( asse delle ascisse del primo diagramma , corrispondente ad una retta a modulo costante 0dB )
2b) Si valuta l'ampiezza del segmento che congiunge , nel grafico della fase , il punto del diagramma in tale frequenza con la retta a fase costante -180° : il margine va considerato positivo se il punto si trova sopra la retta , negativo altrimenti.

Come invertire una matrice

Data una matrice A quadrata e invertibile

la sua inversa A ^{− 1} è la seguente:

dove la notazione det(A) indica il determinante di A e l'esponente T indica l'operazione di trasposizione righe/colonne;
la matrice

è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici).
Il cofattore in posizione i,j è definito come:

dove minor(A,i,j) rappresenta il minore di A che si ottiene cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima.
Il segno ( - 1)^{i + j} varia nel modo seguente:

Esempi

Data invece una matrice 3 per 3 invertibile

,

la sua inversa è la seguente

dove

 

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile      

è la seguente

     

Metedo veloce per le 2x2:
Invertire gli elementi sulle diagonali e cambiare di segno gli elementi b e c (come in figura). 
Il tutto andrà poi diviso per il det(A) che in questo caso è "ad-bc".